Унимодальные и бимодальные функции

Давайте дадим определение унимодальных и бимодальных функций. Значение их очень велико, т.к. нередко сложные задачи разбиваются на простые, а в них требуется искать экстремумы унимодальных функций.

Унимодальная функция

Функция f(x) называется унимодальной функцией, если для некоторого значения m она монотонно увеличивается при x≤m и монотонно уменьшается при x≥m. для функции f(x) максимальное значение равно f (m), и другого локального максимума нет.



На рисунке слева график имеет только одну максимальную точку, а остальная часть графика идет вниз оттуда, а на рисунке справа график имеет только одну минимальную точку, а остальная часть графика идет вверх оттуда. Таким образом, можно сказать, что если функция имеет глобальный максимум или глобальный минимум, то она рассматривается как унимодальная функция.

Рассмотрим функцию f (x) в интервале [a, b], и мы должны определить значение x, для которого функция максимизируется. Функция строго увеличивается в интервале [a, x] и строго уменьшается в интервале [x, b]. Для этого мы можем использовать модифицированный двоичный поиск, чтобы определить максимум или значение этой функции.

Бимодальная функция

Функция называется бимодальной функцией, если она имеет два локальных минимума или максимума. Обычно бимодальная функция указывает на две различные группы. Например, в классе есть много студентов, получающих оценку A и много получающих оценку D. Это говорит нам, что в классе есть две разные группы студентов, одна группа недостаточно подготовлена, а другая группа чрезмерно подготовлена. Смотрите этот рисунок для лучшего понимания:



Примечание

С бимодальной функцией и выше мы не знаем, является ли экстремум локальным или глобальным, если мы не знаем весь график. С унимодальной функцией любой экстремум, который мы находим, гарантированно является глобальным экстремумом.